DEFINICIÓN:
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como ellímitede la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funciónen un punto dado.
Laderivadade una
funciónes una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su
variable independiente
Se calcula como el
límitede la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función
en un punto dado.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ARQUITECTURA
Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en arquitectura. En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean las derivadas para determinar el límite en superficies irregulares; áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución es decir de cilindros, conos, etc. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denominacálculo diferencial.
En muchas ocasiones las construcciones propuestas requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, es poco lo que se utiliza, pero imagínate cuando tengas que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares ¿cómo las calculas? Es ahí cuando utilizas las derivadas, cuando tengas que hacer los análisis de partidas, para los cómputos tienes que calcular, realmente hay tantas cosas que se pueden construir y calcular que son limitadas básicamente por las dificultades técnicas para la ejecución de las obras, pero si haces el cálculo preciso en el tiempo indicado tendrás éxito en tus proyectos.
BIOGRAFIA
https://prezi.com/tt8tkj8tapox/untitled-prezi/
REGLA DE LA CADENA
En cálculo, la regla de la cadena es
una fórmula para la derivada de la composición de
dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas
cuando existe composición de funciones.
[u(x)m]' =
m · u(x)m - 1 · u'(x)
EJERCICIO
Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
RESOLUCIÓN:
· Si u = x2 + 1,
u' = 2x
En este caso m = 3
· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 ·
2x = 6x (x2 + 1)2
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
EJERCICIO:
Obtener
la ecuación de la recta tangente
PASOS A
SEGUIR:
1. Sacar la primera derivada
2. Reemplazar x y sacar pendiente
3. Reemplazar en la ecuación
PLANTEAMIENTO:
Hallar la
ecuación de la recta tangente y= x2 + x +1, en los puntos
(0, 1)
y= x2 + x +1
y'= 2x + 1
y'= 2(0) + 1 = 1 = PENDIENTE
RECTA TANGENTE:
Y2 – y1 = m (x2 – x1)
Y – 1 = 1 (x - 0)
Y – 1 = x
Y = x + 1
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON VALORES EXTREMOS DE F(X)
Se
definió que el movimiento de un objeto en una línea recta, horizontal 0
vertical, es un movimiento rectilíneo. Una función s = f (t) que
proporciona la coordenada del objeto sobre una recta horizontal 0 vertical se
denomina función posición. La variable t representa el tiempo
y el valor de la función f (t) representa una distancia dirigida,
que se mide en centímetros, metros, pies, millas, etc.
A partir
de un punto de referencia s = 0 sobre la recta. Recuerde que
sobre una escala horizontal, consideramos la dirección s positiva
a la derecha de s = 0, y sobre una escala vertical, la dirección s
positiva la consideramos hacia arriba.
EJERCICIO:
Una partícula se mueve según la ecuación S= 2t3 - 3t2 - 12t
+ 8. Determine los intervalos de tiempo cuando la partícula se desplaza hacia
la derecha y la izquierda en que instante cambia el desplazamiento de sentido y
grafique el movimiento.
|
x
|
s
|
v
|
conclusión
|
|
t< -1
|
|
+
|
Creciente
|
|
t = -1
|
15
|
0
|
Cambio de sentido derecha a izquierda (Max
relativo)
|
|
-1 <t< 2
|
|
-
|
Decreciente
|
|
t = -1
|
-12
|
0
|
Cambio de sentido izquierda a derecha (Min
relativo)
|
|
t > -1
|
|
+
|
Creciente
|
S= 2t3 - 3t2 - 12t + 8
S= t2 - t – 2
(t - 2)(t + 1)= 0
t= 2 t= -1
SEGUNDA DERIVADA
Al
derivar la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva
función que se llama derivada segunda, f''(x).
EJEMPLOS:
ANÁLISIS DE CONCAVIDAD Y LÍMITES
f''(x)>
0 …….CONCAVIDAD HACIA ARRIBA
f''(x)<
0 ……..CONCAVIDAD HACIA ABAJO
Puntos de
inflexión
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de
ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
EJEMPLO:
F(x) = x3
F´(x)= 2 x2
F´´(x)= 6x
6x= 0
X= 0
] - ∞ ,
0 [ ; ] 0 , ∞ [
……intervalos
|
] - ∞ , 0 [
|
-1
|
-6
|
|
] 0 , ∞ [
|
1
|
6
|
· 6x = 0
6(-1)= -6
6(-1)= -6
Podemos ver en el ejemplo anterior
que en el punto x=0 (en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser
convexa, por lo tanto decimos que x=0 es
punto de inflexión.
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